O

SECTION II. —, CHAPITRE V. Il

Soit

(1) M(z,y)=o0 ou M=—o

une équation du degré m entre deux variables x et y.
Si cette équation est du degré m par rapport à y, elle
aura m racines , qui seront fonctions de x, et que nous
nous proposons de développer suivant les puissances dé-
croissantes de x. En réunissant les termes de même de-
gré, l’équation (1) pourra s’écrire de la manière suivante :

\

y
(2) le\/‘<;> +xm——1fl <â> +xm—2f‘2 <â) +...=0,
ou, en Ï)OS&H[ÏZ =— u,
; æx

(3) amf(u)+ 0"" f (u) + 07* f (u) +….=0;

Fn Fis far + »» désignent ici des polynômes dont le pre-
mier est du degré m; les autres sont au plus des degrés
m—1,m—2, ..., respectivement. Dans le cas le plus
général, ces polynômes sont précisément des degrés m,
m—1,m—3,.... V

Les m valeurs de w fournies par l’équation (3) sont
des fonctions de x qui, pour x = © , se réduiront aux m
racines de l’équation

(4) É

on pourra donc poser généralement

aÏ=O;

/

(5) u— ets,

l x
£ s’annulant avec —- Nous nous bornerons au cas où les
X

racines de l’équation ( 4) sont inégales, et, dans tout ce
qui suit, cette hypothèse doit être maintenue. Portons
dans l’équation (3) la valeur de u tirée de (5); on aura

\

(6) « /(2 + 9 + 0714 ( + 6) + 2" A (« + €) +..—0,