SECTION II. — CHAPITRE v. 609

à U, «., €t, par suite, l’équation V = o sera au plus du
degré mn.

On pourrait faire à la démonstration précédente l’ob.
jection que voici : Le raisonnement suppose que les
coefficients p+, pa, -.., sont entiers par rapport aux
variables u, ..., ou, en d’autres termes, que l’équa-
tion (6), qui est du degré » par rapport à chacune des
variables t, u, ..., est de ce même degré par rapport
à toutes les variables. Or cela n’est pas tout à fait évi-
dent, quoique les équations (1) ou (5) soient supposées
chacune la plus générale de son degré. Voici, ce me
semble, la manière la plus simple de lever cette objec-
tion. Si quelques-uns des coefficients Pi» P2, -.. étaient
fractionnaires, quelques-unes des racines & de l’équa-
tion (6) deviendraient infinies pour certaines valeursfinies
des variables u, …. Or je dis que cela ne peut avoir lieu,
tant qu’on laisse indéterminés les coefficients des équa-
tions (2) ou (5), et il suffit évidemment, pour justifier
cette assertion, de citer un cas où cela ne soit pas. Sup-
posons qu'on donne aux coefficients des équations (5) des
valeurs telles, que chacune, restant du même degré, se
décompose en facteurs linéaires de la forme

t+ay +bz+ceu+...+1;

on pourra exprimer chacune des racines ? de l’équation
finale relative à ces équations particulières, en fonction
de u, ..., par les formules qui servent à la résolution
des équations du premier degré; et ces valeurs de t,
étant évidemment de la forme de gu+...+f,ne pour-
ront devenir infinies pour des valeurs finies de U, ..

On déduit aisément du lemme qui précède la démon-
stration du théorème de Bézout.

Taforème. — Le degré de l’équation finale qui re-
S. — Als. sup., V. 39