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Lemme, — Si n désigne le degré de l’équation finale
qui résulte de l'élimination de deux inconnues entre les
trois premières des équations (1) et m le degré de la
quatrième équation (1), le degré de l’équation finale
résultant de l’élimination de trois inconnues entre les
quatre équations (1) est au plus égal à mn.

   

COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

L'équation (6), qui résulte de l’élimination de y et z
entre les équations (5), étant du degré n, les coefficients
P'i5 P2y «- sont des fonctions entières de u, ..., dont
la première est au plus du premier degré, la deuxième du
deuxième degré, etc. Cela posé, la somme des puissances

semblables de degré y des racines de l’équation (6),

07€St-à-dil‘€E (æ1 + 4Y1 + 63; )P, peut s’exprimer sous

forme entière, en fonction des coefficients p4, pa, .. ,
par une formule qui est au plus du degré # par rapport
à u, ...; donc une fonction symétrique simple, telle
que Erf3? z,» de degré p+q+r=y, s'exprimera
par une formule qui sera elle-même au plus de ce degré u,
par rapport à #, ... Il résulte de là, et du mode géné-
ral suivant lequel les fonctions symétriques et entières
les plus compliquées se forment à l’aide des fonctions
simples, que toute fonction symétrique et entière du
degré p des solutions communes (x4, V15 44 Jn as AUX
équations (2), s'exprimera par une formule entière qui
sera au plus du degré p par rapport à u, ... Or cha-
cun des termes de l’expression de V, donnée par l’équa-
tion (3), est le produit de puissances de u, ..., dont
les exposants ont une somme mn — u inférieure à mn,
par une fonction symétrique et entière de degré p des so-
lutions communes (x1, Y1, Z1), -.., aux équations (2).
Donc, enfin, chacune de ces parties de V s'exprimera par
une formule qui sera au plus du degré mn par rapport