SECTION 1I. — CHAPITRE IV. 593

Nous avons donné au n° 259 les expressions des in-
vartants A,_,, et l’on voit, en se reportant à ces expres-
sions et au théorème de M. Sylvester, que si l'on dé-
signe par V, la dérivée du polynôme V = F (t), et par
V2, V3, ---, Vm les restes changés de signe que l’on
déduit de V et V,, par l’opération du plus grand com-
mun diviseur, on a

âe v 8

2 2 Es ‘_Ë, Ê_.Ë R V'ä Am—1 IS Vm 5
I v A0 V1 A1 V2 Am—2 Vm—l ;

 

donc le nombre (t) exprime aussi combien 1l y a de
quantités négatives dans la suite

Vl V2 V3 Vm

e e
V Vl V2 Vm—l

et il est égal, en conséquence, au nombre des variations

contenues dans la suite

V, Vlv V27 cr e Vm-

On conclut de là que le nombre des variations perdues
par la suite précédente, quand on passe de t=t à
t= t, > t,, est égal au nombre des racines de l’équa-
tion V = o, qui sont comprises entre £, et t,, ce qui est
précisément le théorème de Sturm. La démonstration
nouvelle de ce célèbre théorème est bien remarquable,
car on n’y emploie, comme le remarque M. Hermite,
aucune considération de continuité.

962. J’arrive maintenant à la méthode pratique donnée
par M. Hermite pour déterminer le nombre représenté
par le symbole (t). D’après ce qui précède, il suffira,
pour remplir cet objet, de ramener à une somme de car-
rés, par une substitution réelle quelconque, la fonction
désignée par f'et que nous savons former.

S. — Alz. sup., 1. ° 38