592 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

ce qui montre que, par notre substitution, deux racines
imaginaires conjuguées introduisent dans f deux carrés
dont l’un est affecté d’un coefficient positif et l’autre
, d’un coefficient négatif.

| On peut donc conclure que toute substitution réelle
qui ramènera f à une somme de carrés de fonctions
réelles introduira autant de carrés affectés de coeffi-
cients positifs qu'il y a d’unités dans le nombre des ra-
cines imaginaires de l’équation F(z) = o, augmenté du

“ nombre des racines réelles supérieures à t; ce qui est
63 précisément le théorème énoncé.

$'i . Conozramme: — Si l’on désigne par (t) le nombre
r " 9 2> , » ‘ \“ . . .

e total des carrés affectés de coefficients positifs dans la
t

Jenction f, lenombre des racines de l’équation F(z)=0
comprises entre deux nombres donnés ty et t4 > by sera
égal à (to) — (ti).

Car, si l’on désigne par N, le nombre des racines su-
el “ périeures à ty, par N, le nombre de celles qui'—sont su-
V 7 ; périeures à t,, et par 21 le nombre des racines imagi-
‘ naires, on aura, par le théorème précédent,

ts \ (ZIÏ]::N1+I, (ZU\x=NO+I,

s” d’où
_ (4)—(8)=N, — N,.
J n
el uh* 261. Le théorème de Sturm peut être regardé comme

un corollaire du précédent théorème, En effet, les quan-
tités Ap, Au, .…, Am_1 étant définies comme au n° 259,
la fonction f peut être mise sous la forme

A, A

j':AOXË+ XÎ++l—_l IÎI—l;
AU @ m—2
À, le nombre désigné par (t) exprime donc combien il y à
# u de quantités positives dans la suite
'/\ f ] Ag As À, À m—1
T d \ p — — — 9 8559 ——

V / F 285 As A

   

m-2