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590 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

des m variables x4, X1, … Xm et dans laquelle t de-
signe une indétermince reelle ; si, par une substitution
réelle, on ramène la fonction f à une somme de carrés
«de fonctions linéaires réelles, le nombre des carrés af-
fectés de coefficients positifs sera égal au nombre des
couples de racines imaginaires de l’équation F (3)=0o,
augmenté du nombre des racines réelles supérieures à t.

D'après ce qu’on a vu au n° 259, l’invariant de la
f0nctionfn’est pas nul, et si l’on désigne par Xo, X4,…,
Xm_, m nouvelles variables, les équations

(x + 2%, H 03 %, 4.1 H aT xs = X0
(2) > X + bx, + d?x5, +..1+ p e X ,
e ans v E uus E
( æ H Lx H BX HH P p = X ;
pourront être résolues par rapport aux variables x; en
substituant ces valeurs, l’expression de f deviendra

I

 

I I
N T
e ” l—+ Ë

(3) f= SEFn

Si toutes les racines a, b, c, …, / sont réelles, la sub-
stitution (2) sera également réelle, et l’on voit qùc. dans
la formule (3), le nombre des carrés affectés de coeffi-
cients positifs est précisément égal au nombre des racines
qui sont plus grandes que t. D'’ailleurs, toute autre sub-
stitution, réduisant f à une somme de carrés, donnera
le même nombre de coefficients positifs (n° 234); donc
le théorème énoncé se trouve établi, dans le cas où les
racines a, b, ..., l sont toutes réelles.

Si les racines a, b, c, …, Ine sont pas toutes réelles,
la substitution (2) ne sera plus réelle, mais il est facile
d’en déduire une autre qui le soit; car, supposons que «
et b forment un couple de racines imaginaires conju-