SECTION 1I. — CHAPITRE IV. 581

l’équation en g, = o, qui est du degré m, sera le ré-
sultat de l’élimination des variables x entre les équa-
tions (1). Cette équation comprend comme cas particu
liers celle dont dépend la recherche des axes principaux
des surfaces du deuxième ordre, ainsi que celles au
moyen desquelles on détermine les inégalités séculaires
des éléments elliptiques des corps célestes.

Nous nous proposons ici de démontrer une propriété
fort importante de l’équation P = o; elle consiste en ce
que toutes les racines de cette équation sont réelles. On
possède plusieurs dcmonstrat10ns de cette proposition ;
mais la plus remarquable est cèlle que Borchardt a
présentée, dans le Mémoire que nous avons déjà cité,
comme une application du théorème de Sturm. D’après
-ce théorème (n° 257), la réalité des racines d’une équa-
tion dépend des signes de certaines quantités que l’on
sait former; dans le cas qui nous oceupe, il se présente
cette circonstance singulière, que chacune des quantités
dont il s'agit est une somme de carrés. Nous croyons
utile de reproduire ici la belle analyse dc Borchardt.

Multiplions chacune des équations (1) par g et substi-
tuons, dans les seconds membres, à ÿx1, GX2, .… &Tm
leurs valeurs tirées des équations (1): nous 0ht1endrons
le nouveau système

(s e x 18e (2) (2)
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