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590 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURT.

mettre l’inégalité des nombres i et k, ce qui démontre la
proposition énoncée.

Théorème de M. »S)”lV6&‘[(}I‘ relatif aux fonctions aux-
quelles conduit l’application du théorème de Sturm.

255. Le théorème dont il s’agit ici a pour objet de
faire connaitre l’expression algébrique des fonctions qui
interviennent dans l’application du théorème de Sturm
à une équation donnée. M. Sylvester l’a publié sans dé-
monstration dans le Philosophical Magazine (dé-
cembre 1839); et Sturm l’a établi ensuite dans un
article qui fait partie du tome VIT du Journal de Ma-
thématiques pures et appliquées. Nous présenterons la
démonstration de Sturm en y apportant quelques sim-
plifications dont l’illustre géomètre a d’ailleurs indiqué
la principale en terminant son Mémoire.

Le théorème de M. Sylvester peut être énoncé comme
il suit :

Tréorème. — Soit VH 0 une équation quelconque du
degré m à une inconnue x, dans laquelle, pour plus de
simplicité, le coefficient de x” sera pris égal à l’unité, et
dont les racines supposées inégales seront désignées par
a, b,c, … k, L. Soit V, la dérivée de V. Concevons qu'on
cherche, par le procédé ordinaire, le plus grand commun
diviseur de V-et V,, en ayant soin de n’introduire et de
ne supprimer aucun facteur indépendant de x, et en
changeant toujours les signes des restes avant de les
prendre pour diviseurs. Désignons par V2, V3, —, Vm
ces restes pris avec des signes contratres dont les degrés,
par rapport à x, sont 1'esp80[[V@inent # —— 2, M-—1,..
1,0, dans le cas général. Les polynômes

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V, Va, V2, <.

    

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