SECTION II, — CHAPITRE 1V. 565

Théorème relatif aux fonctions entières et homogènes
du deuxième degré à coeflicients réels.

254. Dans l’étude que nous venons de faire, nous n’a-
vons fait aucune hypothèse sur la nature des coefficients
des fonctions que nous avons considérées. Nous suppose-
rons ici que ces coefficients soient des quantités réelles;
alors, en appliquant le procédé du n° 192 à une fonction
entière et homogène du deuxième degré, f, pour la ré-
duire à une somme de carrés de fonctions linéaires, 1l
pourra arriver que quelques-unes de celles-ci contiennent
le facteur /Ÿ—1. En d’autres termes, la fonction f sera
exprimée par une somme de carrés de fonctions linéaires
réelles, multipliés par certains coefficients positifs ou
négatifs.

On peut dire, avec M. Hermite, que deux fonctions
entières et homogènes du deuxième degré sont de méme
espèce, lorsque, ces fonctions étant exprimées par des
sommes de carrés, le nombre de ces carrés dont le coeffi-
cienta un signe donné, est le même dans l’une et dans
l’autre fonction.

Cela posé, nous présenterons ici une proposition
fort importante avec la démonstration qu’en a donnée
M. Hermite.

Tuéorème. — De quelque manière qu'on transforme
un polynôme homogène du deuxième degré à coefficients
réels et dont l’invariant n’est pas nul, en une somme
de carrés de fonctions linéaires réelles, ces carrés étant
afjectés de coefficients numériques également réels, le
nombre de ces coefjicients qui auront un signe donné
sera toujours le méme.

Soit

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