SECTION TI. — ‘CHAPITRE 1V. 551

pour toutesles valeurs des indices z et Æ. Si donc'on pose

U,n Un <1 0 Cm J

Ay,2 29 <010 à

(7) A: .4) -.’- 1.’ .. (’
(Ll;7)l ([.2M” 4 (l,,1),” ‘

on aura (n° 244, Remarque)

(8 ) ; =- P

Il résulte de là que le gléterminant de la substitution (2)
ne peut être nul que dans le cas où l’'on a A=0o.
Ce déterminant A, formé avec les coefficients des
fonctions linéaires
: of àf QE
p e

I
AI C T SE ce
DÉOE, 2 0dæ; 2 0Xn

joue un rôle considérable dans la théorie qui, nous
occupe. M. Sylvester lui a donné le nom d’invariant, qui
est adopté aujourd’hui par les géomètres,

D’après cela, nous pouvons énoncer la proposition

suivante :

Si l’invariant d’une fonction homogène du deuxième
degré n’est pas nul, toute réduction de la fonction à
une somme de carrés pourra étre obtenue par le moyen

d'une substitution linéaire.

243. La dénomination d’invariant, donnée au déter-
minant À, se trouve justifiée par la proposition suivante :

THÉORÈME. — Lorsque, dans une fonction entière et
homogène du deuxième degre, on substitue aux m va-
riables des fonctions linéaires de m nouvelles variables,
l'invariant de la transformée est égal à l’invariant de
la proposée, multiplié par le carré du déterminant de la