SECTION II. — CHAPITRE IV. 545

variant de 1 à n et l’indice k de 1 à m. Si l’on a
m<ou= n et que l'on fasse

Cise — U ,i U, e H Ag,ÿ Ag,p H » e HUn at Unkr

le déterminant des quantités c sera égal à la somme des
_ carres de tous les déterminants que l’on peut former
avec m* quantités a composant m colonnes verticales du
tableau formé avec les quantités a, c’est-à-dire que l'on
aura

\ 2
E DE 1 Cn ns t Cmn =R S < E Îa,.»_1a,.»,2...{7,.(m)…, ,
/

le signe S se rapportant à toutes les combinaisons R,

r!, .. ., rèm) des nombres 1, 2, .. ., n, pris m à m.

Pour démontrer ce corollaire, il suffit de remarquer
que les déterminants représentés par À et B dans le théo-
rème précédent deviennent ici égaux entre eux.

245. Le théorème que nous venons d’établir conduit
à de nombreuses conséquences dont on verra le dévelop-
pement dans ce qui va suivre. Mais nous ne pouvons nous
dispenser ici de remarquer qu’on en déduit immédiate-
ment ce théorème d’Euler.

Tréorème. — Le produit de deux sommes de guatre
Î ]
carres est lui-méme la somme de quatre carrés.

On a, en effet, d'après le théorème du n° 244,
(“… A2,9 — U,2 U2,1 ) ‘{\bl.l ba,n — D1,2 l’2,1)

/
= (a,,1 61,1 + A2,1 Do,1 ) (A1,2 O1,2 + 42,9 ba,2)

 

— (a1,: b4,9 + 4.1 6950 ) (@1,2 O1,1 + Ap,2 ba,1)e

Cette égalité ayant lieu identiquement, soient

3 — Alg. sup., L 35