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SECTION II. — CHAPITRE IV. 43

entre eux ; il v aura donc deux colonnes verticales iden-
tiques dans le déterminant % et l’on aura #4 = o, d’où

=—

Si l’'on am — n, le déterminant W sera encore nul, à

moins qu’on ne prenne pour la suite
% P. w;
celle des m nombres
12 35 AS

dans ce cas, soit s le nombre des transpositions qu’il
taut effectuer dans cette dernière suite pour la fairecoïn-
cider avec la précédente, on aura évidemment

W =(—1}°B,
et, par suite,

=
vaA=IR [ \s
CBY (— 1)*A,1 Au,e Uy,3- " 00

Or il est évident que la somme contenue dans le second
membre de cette formule est égal au déterminant À des
quantités (a); donc
C= A

Supposons enfin m < n; pour que % ne soit pas nul,
il faut, comme précédemment, que deux quelconques
des indices À, u, v, ... soient inégaux. Quand 1l en est
ainsi, W coïncide au signe près avec le déterminant B
formé en prenant m colonnes verticales du tableau (b);
alors, si s désigne le nombre des transpositions qu’il faut
faire subir aux premiers indices du terme principal de B
pour obtenir la suite À, u, v, .. ., on aura

ns — 12e
e)————k I,B_

I ,
; ::}4 (— 1)S@a,s Gp,2 243" + BI

puis