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540 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

en poursuivant cette série de substitutions, on parvien-
dra à l’expression de D" qui sera évidemment

D':D—+—Sl+81—f—..—+smÿ

dans cette formule S, désigne généralement la somme

m(im—1). (m—y +1)

des —— déterminants que l’on ob-

 

 

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tient, quand on remplace la lettre a par « dans u lignes
horizontales du déterminant D.

Nous pouvons tirer de ce résultat une conséquence

qui nous sera utile. Si les quantités œ;,; sont telles que
Cyus Ca,us < - <0 Zmon
soieènt proportionnelles à

Cyva Cayvr 0050 Xms

pour toutes les valeurs des indices y etv, chacun des
déterminants contenus dans les sommes S»,, S, …, Sm
s’évanouira; car, dans chacun d’eux, dcux'ligncs hori-
zontales seront formées de quantités proportionnelles.
La formule précédente se rédiiira donc à

D'=— D S,
ou à
D'= D + D, + D, +...+ Pn

D,, D», ..., D, étant les valeurs que prend D quand
on remplace « par « dans chacune des lignes horizontales
successivement.

244. Nous compléterons ces notions sur les détermi-
nants en démontrant un théorème qu’on doit regarder
comme fondamental et auquel Binet et Cauchy sont par-
vonus l’un et l’autre, en généralisant des résultats obte-

nus précédemment par Lagrange et par Gauss.