SECTION 11. — CHAPITRE IIT. 525

général se réduit à

n E l<‘ ((Z)
. _Pll_ at+ f" ( a)_

Ainsi la série récurrente dans laquelle se développe la

fraction F—‘(—r—) peut s’obtenir par l’addition de plusieurs
f (æ)
séries provenant des développements de diverses puis-
sances négatives et entières des binômes a—x, b—x,....
D'’ailleurs ces séries sont convergentes pour toutes les va-
leurs de x, dont le module est inférieur au plus petit des
modules des quantités a, b, ..; on peut donc énoncer la
proposition suivante, qui est un cas particulier d’un théo-

rème de Cauchy relatif au développement des fonctions :

Tuéornème. — Une série provenant du développe-
ä ; : , F(=)
ment d’une fonction ratwnnellef—(\f)—' est convergente
* %
pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x dont
le module est inférieur au plus petit module des ra-

cines de l'équalionf(x) —o.

ExrmeLe. — Proposons-nous de former la série réeur-
rente dans laquelle se développe la fonction

e P+— Qx
{æ\}= ——
e 1 — 2x COSO& + **
où P, Q et w désignent aes constantes données.
Décomposant cette fraction en fractions simples et
employant, comme nous l’avons déjà fait précédemment,

la notation usuelle des exponentielles imaginaires, savoir,

s— cose Æ y —1 sino,
on a
; A B

:", x; — —— = sc —

1N p veT sy"