SECTION I. — CHAPITRE III. 523
pour les valeurs de n qui surpassent une certaine limite,
la série que nous considérons se réduit à un olynôme

q
F (x) composé d’un nombre fini de termes; on a donc

9(æ)f(#)=F(æ), ;
d’où É ;
F(x)

ce qui démontre le théorème énoncé.

Tuéorème II. — Reciproquement, toutes les fois
(/u’uflc_flnctiun rationnelle peut se développer en une
série convergente ordonnée suivant les puissances crois-
santes de la variable, cette série est récurrente.

F(r

k.1:

<

 

En effet, supposons que la fraction rationnelle

=

soit développable en une série convergente et que l’on
ait
{1) 2S à +a,x H a9 0% +.. H An Hs « « 2

pour certaines valeurs de la variable x. Soit aussi
(2) F 'ï) S 09 X H , A A 001 H ms T H Ums
Le produit de la série (1) par le polynôme (2) est une
série convergente qui a pour somme le produit
F(x)
F(7)
donc, pour toutes les valeurs de n qui surpassent une

certaine limite, le coefficient de x” dans le produit dont
il s’agit doit se réduire à zéro. Or ce coefficient a pour

fu\.‘:f —, \(.T);

valeur
% Un—m F 0 Un—m—1 F 00 E Xm—t Un—s — En Un *
donc on a

% Un—m F 4 Un—msr 0 1E Omsr Unsr F Em Un = O