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522 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

m étant un entier quelconque, et æo, Œ:, -.., Œn des
quantités constantes. La suite de ces quantités

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est ce qu'on nomme l’échelle de relation de la série
récurrente.

Cela posé, nous établirons à l’égard de ces séries les
deux propositions suivantes :

Tuéorème 1. — Lorsqu'une série ordonnée suivant
les puissances croissantes de la variable x est à la fois
convergente et récurrente, elle a pour somme unef1‘ac—
tion rationnelle.

En effet, soient « (x) la somme de la série proposée

(1) @ + d % +a9%*}+...H+ An X"+...

X0n X1 <0 +5 m
son échelle de relation, en sorte que l’on ait
<?*) % Un—m } % Un—msr + <» #H Am—y Un—s + Um Un = 0,

pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine
limite.
Posons

f(æ) = y 47 H y XLH An € + Es

et multiplions la série (r) par le polynôme f(x). Chaque
terme de ce multiplicateur donnera pour produit une
série convergente, et la somme des m + r séries qui ré-
pondent ainsi aux m — 1 termes de f(x) sera évidem-
ment une série convergente qui aura pour somme le
produit p(x) f(x). Or, en ordonnant cette dernière
série suivant les puissances de x, on trouve que le coef-
ficient de x” est précisément le premier membre de
ridentité (2); et, comme ce premier membre est nul,