SECTION 1I. — CHAPITRE II. 481

Lagrange (n° 208) est souvent préférable dans les ap-
plications à celle que nous venons de présenter ; au reste,
on passe de l’une à l’autre forme par un-simple change-
ment de variable (*).

Applications de la formule de Lagrange.

211. Considérons l’équation trinôme
(1) u= %— tu"”,

Pour que cette équation ait deux racines égales, il faut
qu'elle ait une racine commune avec sa dérivée

u m—1
(2) 1= miu ;
L’élimination de ? entre ces deux équations donne

mæ
u-S
Mmèr=-l

et l’équation (2) donne, pour t, la valeur correspondante

[ cr m—t
(m — 1)

 

m” _1‘.uzî——1

Donc, pour toutes les valeurs de & dont le module est
dis E ( — 4}= ë
inférieur au module de —— celle des racines de

m m 7'.lH-— 1

l’équation (1) qui a le plus petit module est dévelop-
pable en série convergente ordonnée par rapport aux
puissances entières de #. Le développement sera, d'après

 

(*) Dans son Mémoire sur la série de Lagrange, M. Rouché a étab'i
aussi une autre formule plus générale, et de laquelle il a tiré une dé-
monstration très-simple de la formule par laquelle Waring a exprimé la
somme des puissänces semblables des racines d’une équation algébrique.
Je renverrai pour ces développements au Mémoire de l’auteur.

S. — Alg. sup., I. 31