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COURS DÎALGÈBRE SUPÉRIEURE.

aura une racine unique de module inférieur au module
de ,
cette racine.

et le théorème du n° 208 pourra être appliqué à

210. Si l’on pose z = u— x, l’équation
° z——lç(.r—i—z}=0
se transformera dans la suivante :
u— a+ tç{u),

e et, d'après les. développements qui précèdent, on peut
énoncer la proposition suivante :

Tréorème. — Soient 9 (u) une fonction bien déter-
minée qui reste continue, et T le plus petit des modules

uuu antr ,*

qu'il faille attribuer à t, pour que l’équation
u=— e +tzp{ll}

ait deux racines égales. Tant que le module de t res-
tera‘inférieur à T, celle des racines u de la méme équa-
tion qui a le plus petit module sera développable en
série convergente ordonnéee suivant les puissances en-
tières et positives de t; la méme chose aura lieu aussi
pour toute fonction continue de la méme racine u.

On a (n° 208), si F(u) est une fonction continue,

S t? dF'(x)[o(x)}
;£?l-ïf\l+ el ]
29 1.2 dæ

t” _(]n_lF,‘î"'\r{‘? ',.“]n

K3N datt

; T=s
F(u)=F(2)+ ! F(2
1

——

 

24

ce qui est précisément la formule de Lagrange, sous la
forme que cet illustre géomètre a adoptée. Si la fonction
8
F (u) se réduit à u, il vient
t (l[ç (,L) ]2 # dr—1 {‘P ;: æ) ]n

t [
j PEN dn-
A u=— x —-e[x) + — —— —+—.#+———— e CR
fn ; si Es ' B2 dæ 15927 tl le

La forme que M. Rouché a donnée à la formule de