SECTION IT. — CHAPITRE IL. 491

. I ,
le module du coefficient de —, dans le développement,

est inférieur au module maximum du produit zf (=)-

En effet, d’après le théorème du n° 205, le coefficient
de Ë dans le développement de f(=) est égal à la valeur
moyenne du produit zf (z), et, d’après Je précédent théo-
rème, le module de ce coefficient est inférieur au mo-

dule maximum de =/ (z).

207. Ces notions préliminaires étant établies, considé-

rons une équation de la forme
3=to(x+2),

dans laquelle t et x désignent deux constantes quel-
conques réelles ou imaginaires, et où @ représente une
fonction bien déterminée qui reste continue pour toutes
les valeurs de z dont le module est inférieur à une cer-
taine limite R. Nous établirons d’abord, d’après M. Rou-
ché, le théorème suivant :

Tuéorème I. — Si la fonction 9(x + z) est bien dé-
terminée et continue pour toutes les valeurs de z dont
le module est inférieur à R, et si la constante est telle,
que le module maximum de la fonction

te(æ+=)
z

 

soit moindre que l’unité pour une valeur r du module p
de z inférieur à R, l'équation

z2=tge(x+2)
aura une racine unique de module inférieur à r.

En effet, soit m le nombre des racines Z;, Z2, » » < » Tm
de cette équation, dont les modules sont inférieurs à 7;