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470 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

ae* désignant une constante et m un nombre entier ; le
module de f (=) sera la racine carrée de l’expression
E

5 l

{ac'“ H pet ge - Tpes - j'”,
P e /

ou

I 2 [ \ 271n

— [a*+ 2ap cos(o — a) + p* ]",

f
et il est évident que le maximum de cette expression ré-
pond à w — a; il s'ensuit que le module maximum de
la fonction j(z) a 1ci pour valeur

((l +P\m

P

 

Cela posé, on a la proposition suivante :

Théorème. — Le module de la valeur moyenne d'une
fonction f(z) est inférieur au module maximum de
cette fonction.

En effet, la valeur moyenne Mf(z) de la fonction
f'(=) est la limite vers laquelle tend l’expression

F(20)+f(81)+-+-+F(En—s)
n

quand n tend vers l’infini; le module de la somme qui
figure au numérateur est inférieur à la somme des mo-
dules des parties, et en conséquence il est inférieur, quel
que soit n, à n fois le module maximum Donc le mo-
dule de Mf(z) est moindre que le module maximum.

ConoLLAIRE. — Lorsque, pour une valeur donnée du
module p de la variable imaginaire z, une fonction f (z)
est'développable en une série convergente ordonnée sui-

vant les puissances entières positives et négatives de z,