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468 COURS D'ALGEBRE SUPÉRIEURE,

nominateur de cette expression ne pourra s’annuler,
car m est, par hypothèse, différent de zéro ; d’ailleurs le
numérateur est nul, puisque mn est un entier; donc la
moyenne arithmétique des z valeurs de z” considérées
est nulle dès que z surpasse m. Il s’ensuit que la valeur
moyenne de la fonction z” est égale à zéro.

Quand le nombre m est zéro, la fonction f (z) se ré-
duit à l’unité et dans ce cas sa valeur moyenne est elle-
même égale à 1.

On peut conclure de ce qui précède la proposition
suivante, qui nous sera utile :

Tuéorème. — Si, pour une valeur déterminée p du
module de la variable z, la fonction f (z) est dévelop-
pable en une série convergente ordonnée par rapport
aux puissances entières positives et ne'gatives de z, le
coeflicient d'une puissance entière quelconque z", dans
le développement, est égal à la valeur moyenne du

J(2)

2k

 

quotient

En elfet, supposons que, pour une valeur p du module
de z, on ait, quel que soit l’argument o,

m=+e

on pourra écrire

 

ou, si l’on veut,
m=+M
f‘ Z-) EN k
\ 2m—k
0 eTR Am æ — ë,

m=—M

>

.

£ désignant une quantité qui tend vers zéro quand l’en-