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u1m RV B MSES

466 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

et soient
I— ae — 4 bd + 3c*,

J = ace + 2 bed — ad? — eb? — ,
On aura, en désignant les quatre racines par «, 6, y, 9,

a<(e—BP(a—y)(a—5(B—4P(8—IF(7—8}

 

C’est M. Cayley qui, le premier, a trouvé cette formule.

Démonstration nouvelle de la formule de Lagrange.

204. La formule de Lagrange a fait l’objet. des re-
cherches d'un grand nombre de géomètres; Cauchy, en
particulier, est revenu à plusieurs reprises sur cette for-
mule, etil en a donné diverses démonstrations. Mais, dans
ces derniers temps, M. Rouché a fait une étude nou-
velle et plus complète de la question, et il a publié,
dans le XXXIX*Cahier du Journal de l’EÉcole Polytech-
nique, une démonstration qui ne laisse rien à désirer sous
le double rapport de la rigueur et de la simplicité ; nous
croyons utile d'exposer ici l’analyse de M. Rouché.

Les développements qui vont suivre ne se rapportent
pas seulement aux équations algébriques : ils s’appliquent
également aux équations transcendantes. Rappelons à ce
sujet que, si /(z) désigne une fonction quelconque bien
déterminée de la variable z, qui s’annule pour z = z,,
et si, u étant un entier positif, la fonction

(3 — =1}*

=F(z)
a une valeur finie différente de zéro pour z — z,, la ra-
cine z, de l'équation f (z) = 0 a le degré de multipli-
cité u; les règles du Caleul différentiel montrent que dans