SECTION IT. — CHAPITRE II. 461

Il est aisé de vérifier ces résultats au moyen des formules
de Newton.

Méthode nouvelle pour former le dernier terme de
l’équation aux carrés des (lzflër@nce&

202. Le prodmt des carrés des différences des racines
d’une équation prises deux à deux, ou, ce qui revient au
mème, le dernier terme de l’équation aux carrés des
différences, est yne fonction entière des coefficients de
l’équation proposee, qui possede plusieurs propriétés
remarquables et qu’on a occasion de considérer dans
diverses questions d’Analyse supérieure. Nous avons fait
connaître au n° 179 le procédé de Cauchy, par lequel on
peut calculer la fonction dont il s’agit, pour une équation
de degré m, lorsqu'on connaît la valeur de cette même
fonction pour une équation de degré m— 1. Je me pro-
pose ici d’indiquer un procédé nouveau et d'une grande
«1mphc1te pour résoudre la même question.

Soit l’équation de degré m

(I> æ —+_pl'fl"‘…_1 +])2.13'”—2+l)3.1"”_3+ e +]Ün—l X +Pm=0,

et désignons par V le dernier terme de l’équation aux
carrés des différences des racines. Il résulte de la théorie
des fonctions symétriques que Vm est une fonction en-
tière des coefficients p|, P2; - - - » Pmy €t que chacun des
termes de cette fonction renfermera m(m — 1) dimen-
sions, si l’on considère chaque coefficient p comme ayant
autant de dimensions que son indice contient d'unités.
D'après cela, la valeur de V,, ordonnée par rapport aux
puissances décroissantes de p aura la forme

n—1 m—2 m-—8 ,
(2> VIIL—A1P… = A2P… +A3P… 48es +Am—1pln'+ Ann

A+, A», ». « , Am étant des fonctions entières de 4. P2, » »»
Pm_1, dont la première est une simple constante.