442 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

es I ; ;
multipliée par =3._7> OU, comme il est facile de s’en
Ls rae f
assurer, égal à
d (
b —- {f u)]"
I (llt !
154 “du'—t \ B

Maintenant, si les séries (6) et (7) restent convergentes
quand on réduit chacun de leurs termes à son module, la
série nouvelle que nous venons de former sera aussi con-
vergente, par un théorème connu, etelle aura pour10n1me
le produit des sommes des deux premières séries. D’ail-
leurs elle se déduit de la série (6) ou (7), comme on vient

 

(*) La réduction dont il s’agit ici résulte de la formule qui sert à expri-
mer la différentielle d’un ordre quelconque du produit de deux fonctions.
Si w et v désignent deux fonctions d’une variable indépendante æ, on a

; , A p—1 =
d”(ufl)=u(l*"«*+fi(Ïud‘* ‘v+£/——i——————d’ud‘L S
I

1.2

mais, à étant une fonction quelconque de x, on peut écrire aussi
d'(uv)=ud"o+ F (!(]u) d ; TR

—h V
,A

 

(a) / s7 di—! ( kdu)d"

+.….
Mpesf4ir 4 5 v

sd (* du).
e
Cette formule se vérifie immédiatement quand p =r; pour établir sa
généralité, il suffit donc de montrer que, si elle a lieu pour les valeurs
1, %, -…, m de p, elle subsiste pour » = m + 1. Dans cette hypothèse, si l’on

 

. . . . v .
fait » = m — à et qu’on écrive t au lieu de u, p t lieu de v, on aura

m—

 

! (ede) dmsi -s ——

d et 1ms
ti ï qist

tèts

7 S ; ;
(m — 2:)(n —+—1 ; ‘

(b) ( _4_‘_—‘.,——_>(/\t'({[>d’”—‘ = ue
1.2 {lw—.

 

+ dm-i-* ([’”'"({[>.

giu+t

Cela posé, si l’on différentie la formule ( à ), après y avoir fait # = m, on