SECTION II. — CHAPITRE I. 421

condition écrites plus haut, sans que les premiers mem-
bres des équations (1) et (2) aient un diviseur commun
du degré u, ce qui serait la condition nécessaire pour
que les équations (1) et (2) eussent réellement # racines
communes. Pareillement les équations
v e 0150 VV 0

expriment les conditions nécessaires pour que u racines
de l’équation (1) satisfassent à l’équation (2), en sorte
que si l’équation (1) a des racines multiples, on pourra
satisfaire aux équations de condition précédentes, sans
que les équations (1) et (2) aient réellement j racines
communes.

Il faut remarquer, en outre, que le dernier terme p,,
ou 4,, par rapport auquel sont prises les dérivées de V,
doit être considéré comme un paramètre indéterminé
dont tous les autres coefficients sont indépendants.

Cela posé, passons à la démonstration du théorème.
Soient a, b, c, .., k, l les n racines de l’équation (2),

et posons

V=f(a)f(6)... F(K)F();

V est une fonction symétrique des racines de l’équa-
tion (2), dans laquelle les coefficients sont des fonctions
entières des coefficients de l’équation (1); on pourra
donc l’exprimer par une fonction entière des coefficients
des équations (1) et (2).

Les racines a, b, c, ..., k, l étant indépendantes de
Pm> les quantités f(a), f(b), --., f(1) sont des fonc-
tions linéaires de p,, et leurs dérivées sont toutes égales
à l’unité; donc l),,m V est égale à la somme des produits

m—1 à m—1 des quantités

f(a), f(b), » FA), Fs