SECTION Il. — CHAPITRE I. 417

raisonnement précédent s’appliquera aux deux équations
proposées qui ne renferment plus que x et y. Par où l’on
voit que l’équation finale en x, z, u, ..., résultant de
l’élimination de y, sera au plus du degré mn, si l’on y
remplace , #,; c, Par kx Ms 0 et cela, quels que
soient Æ, K, ...; mais cette substitution ne change évi-
demment pas son degré, lequel ne pourra donc, en aucun
.cas, surpasser mn.

On verra plus loin qu’on peut fixer avec précision,
dans chaque cas particulier, le degré de l’équation finale
qui résulte de l’élimination d’une inconnue entre deux
équations données.

188. Quand on opère l’élimination dans le but d’ob-
tenir les systèmes de solutions de deux équations à deux
inconnues, il faut déterminer en outre les valeurs de l’in-
connue éliminée, quirépondent à chaque racine de l’équa-
tion finale; on a vu au n° 73 comment on doit diriger le
calcul pourremplir cet objet. Au reste, comme l’équätion
finale en x exprime que les équations proposées ont une
racine commune y, on peut déterminer celle-ci par le pro-
cédé suivant, qu’Abel a fait connaître dans le tome XVII
des Annales de Mathématiques de Gergonne (*)

Soient les deux équations

(X) /(Ïï =.,"'… -*_]7l.)fm_l +I’2)”'”AË es +Î’lIL—Ly +/’… — O,'
(:,> |;(\y) — y 'llÏ”vl p 72):n—2 e E OV (](L == 0;

qui ont une racine commune y,, mais qui n’ont que cette
seule racine commune, et proposons-nous de la caleuler.
Désignons par y1, V2; - » «, Yn les n racines de l’équa-

par Y4> 2> » Yn

 

({) L'édition des OEuvres d’Abel faite par Holmboe et publiée en 1839
ne renferme pas je théorème ; au contraire, la nouvelle édition faite par
tes soins de MM. Sylow et Lie, et publiée en 1881, présente cette appli-
cation (voir le n° XIII).

S., Alg. sup. — I, 27