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COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

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Le degré de l'équation finale résultant de l’élimina-
tion d’une inconnue entre deux'équations qui en con-
tiennent plusieurs est au plus égal au produit des de-
grés de ces équations.

Ce dernier théorème subsiste lors même que les équa-
tions proposées manquent de la plus haute puissance de
l’inconnue qu’on élimine.

Soient, en effet, deux équations entre deux variables x
et y, ayant respectivement m el n pour degrés et man-
quant du terme le plus élevé en y. En considérant x et y
comme des coordonnées rectilignes, ces deux équations
appartiendront à deux courbes, et le degré de l’équation
finale résultant de l’élimination de y sera égal au nombre
des points d'intersection réels ou imaginaires de ces
courbes. Par conséquent, ce nombre ne changera évi-
demment pas, si l’on rapporte les deux courbes à d’au -
tres axes de coordonnées ; mais alors les nouvelles équa-
tions de ces deux courbes se déduisent des anciennes, en
remplaçant x et y par des fonctions linéaires ax + by,
d'x + b'y, et elles contiendront évidemment, l’une un
terme en y”, l'autre un terme en y”, à cause de l’indé-
termination de b et de b’; le degré de l’équation finale
en x résultant de l’élimination de y entre ces nouvelles
équations sera donc au plus égal à mn : par suite, le
nombre des points d’intersection des deux courbes ne
pourra surpasser mn, et il en sera de même du- degré de
l'équation finale qui résulterait de l’élimination de y
entre les deux proposées.

La même démonstration s’applique au cas où les deux
équations proposées contiennent, outre x et y, d'autres
variables z, u, .. . En effet, si l’on pose

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et que l’on considère Æ, k', ... comme des paramètres, le