SECTION IL. — CHAPITRE I. 415

par rapport aux variables x, ...; si donc nous faisons
L
voir que le second facteur 24 a*bs...lest, par rapport

à ces mêmes variables x, ..., du degréa+6+...+3,
il s’ensuivra que le terme de V que nous considérons est
du degré mn, et que V cst lui-même de ce degré. Les
coefficients p,, p», . .. de l’équation (1) étant, par rap-
- port à x, ..., d’un degré égal à leur indice, il en sera de
même des sommes de puissances semblables s4, 52, ...
de ses racines ; cela résulte immédiatement des formules
de Newton. Ainsi le degré d’une fonction symétrique
simple telle que s, est le même, soit que l’on considère s,
comme fonction de a, b, ..., soit qu’on la considère

comme fonction de x, .... Enfin, Ea“b‘Ï .D peut |

s'exprimer en fonction des sommes s, par une formule |
entière qui est du degré « +6+...+ À par rapport
aux racines «, b, ..., et qui est, par conséquent, aussi
du même degré par rapport à x, .. .. Le théorème est
donc démontré.

Nous avons admis comme évident que les termes de
degré mn, qui se trouvent dans V, ne peuvent se détruire, |
tant qu'on laisse indéterminés les coefficients des équa-
tions (1) et(2). On peut, au surplus, mettre ce fait hors
de doute en se référant, comme nous l’avons fait au
n° 71, au cas particulier de deux équations dont les pre-
miers membres sont décomposables en facteurs linéaires.

187. Si les coefficients des équations (1) et (2) ont des
valeurs déterminées, on pourra tonjours leur appliquer
le raisonnement du n° 185, pourvu que ces équations f
contiennent la plus haute puissance de l’inconnue qu’on w
élimine. On est ainsi conduit à la proposition suivante, y
qui est générale :