matmanti ®

414 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURF-

donc exprimer cette fonction rationnellement par les
coefficients des équations (1) et (2).

186. La méthode précédente conduit facilement au
théorème de Bezout, relatif au degré de l’équation finale.

Nous supposerons, comme précédemment, queles deux
équations(1)et (2), l’une du degré m, l’autre du degré n,
soient complètes, et que leurs coefficierits soient dans
une complète indépendance. Alors les quantités p, et q
sont des fonctions entières du premier degré par rapport
aux variables x, ... qui figurent dans les équations
proposées ; pareillement, pa, ÿa sont du deuxième degré,
et, en général, le degré des coefficients de y dans les
équations (1) et (2) sera indiqué par leur indice. Cela
posé, je dis que :

Le degré de l'équation finale qui résulte de l’élimina-
tion d'une variable y, entre deux équations complètes
dont les coefficients sont indéterminés et indépendants
les uns des autres, est précisément égal au produit des
degrés des deux équations.

Considérons, en effet, un terme quelconque du pro-
duit des expressions (3), par exemple

é E
es Un <Gn r UD 22 0ME

ce terme se trouvera dans V, ainsi que la fonction symé-
trique dont 1l fait partie. V est donc la somme d’expres-
sions de la forme

e ;
Gn—o Yn—6 <.« {]lz—-lÿ a*b>.,
sd

en observant qu’il faut remplacer g,— par 1, sia=n,
et de même pour les autres. Or, d’après ce qui a été dit
plus haut, le facteur ÿ,aGn-<- —Jn est du degré
(n—a}+(n—€)+...+(n——])oumn-——(a+â+ …