SECTION J1. — CHAPITRE I. 411

6(a) désignant un polynôme entier et rationnel par rap-
port à a, et l’on en tire

 

 

 

 

R
! P R,
Ÿ(a) 5 9((l)’
on a donc
e(a) _ 30((l).9((£).
æ{)((() S R,
g(@)

 

Cette valeur de est entière par rapport à a, puisque

Y(a)
R, ne contient pas a, et, si elle renferme des puissances
de à supérieures à la (m — 1)'*”°*, on pourra les faire
disparaître par le procédé que nous avons indiqué au
n° 182.

À la vérité, cette méthode semble en défaut dans le cas
où les polynômes v (x ) et f(x') ont un diviseur commun ;
car, dans ce cas, la quantité désignée par R, est nulle,
ainsi que 0(a) : mais alors on pourra enlever de f(x),
par une simple division, tous les facteurs linéaires qui
sont dans 4 (x),et parmi lesquels ne se trouve pas x — a,
car autrement V(a) serait nul. En désignant par f4(x)
le résultat ainsi obtenu, à sera racine de f,(x)=0, et
le polynôme 4(x) étant dès lors premier avec f, (x), on
pourra appliquer la méthode.

[ résulte de ce qui précède que la fonction rationnelle
la plus générale d’une racine d’une équation de degré m
est une fonction entière du degré m — 1, renfermant par
conséquent m coefficients arbitraires.

Exemepre. — Toute fonction rationnelle d’une racine à
de l’équation du troisième degré

xæ+pa@+qx+r=0
peut être mise sous la forme

A + Ba + Ca*,