SECTION IT. — CHAPITRE I. 409

fonction symétrique et entière des racines de l’équation

L

et on peut l’exprimer sous forme rationnelle et entière,
en fonction des coefficients de cette équation, c’est-à-dire
en fonction de a et des coefficients de l’équation (1).
D'après cela, l’égalité (2) prendra la forme

 

% =ç((l).9(d),

où 0(a) désigne un polynôme entier et rationnel par
rapportàa. En effectuant le produit des polynômes q et ,
notre fraction deviendra
g(a)
455 = Ao + A,@+ A5@? +,. < A, ak,

w_}:…)

et je dis qu’on peut supposer le degré u inférieur à m. En
effet, de l’équationf(a) = 0 on peut tirer la valeur de a”
qui sera exprimée par un polynôme du degré m—1 ; en
multipliant par à cette valeur de a”, on aura a”*+# » qui sera
exprimée par un polynôme du degré m, mais qu’on pourra
abaisser au degré m—1, en remplaçant a”” par la valeur
trouvée précédemment. En continuant ainsi, on expri-
mera chaque puissance de a, à partir de la m'ème, par un
polynôme du degré m—1, et, par suite, on pourra chas-

(a)

v(a)

 

ser de l’expression de que nous avons trouvée toutes

les puissances de à supérieures à la (m — 1)'ême, Mais on
peut aussi opérer comme il suit : si u est >m, on divi-
sera le polynôme A, +A,a+... par f(a), et en dési-
gnant par Q le quotient, par w (a) le reste qui est de
degré inférieur à m, on aura

(æ)

(a

-—

 

—Ao+Aa+...=f(a) XQ+o(a);

_—

e

mms vc