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404 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

 

Nous avons admis comme évident que toute fonction
symétrique des quantités V,, Va, ... est aussi une fonc- |
tion symétrique des racines à, b, c, .... Voici, au sur-
plus, un moyen très facile de le démontrer.

Par hypothèse, les quantités
(1) ...x

sont toutes distinctes, etce sont les seules valeurs que V
puisse avoir. Faisons subir aux lettres

aibres ; K1

une permutation quelconque, et supposons que V, se
change en V',, Va en V',, - ; les quantités

,

(2) T. w

devront toutes se trouver dans la série V,, V», .. ., puis-
que cette dernière comprend toutes les valeurs de V ; je
dis, en outre, que tous les termes de la série (2) sont
différents, et que, par suite, cette série coïncide avec la
série (1): on ne peut avoir, par exemple, V, = V,, car
V, et V> ne diftfèrent de V', et V', qu’en ce que les quan-
tités dont ces fonctions dépendent y sont désignées par
des lettres différentes, et l’égalité V', = V', entraînerait,
en conséquence, V, = V,, ce qui est contre l’hypothèse.
Il résulte de là que, si l’on fait subir aux lettres a,
b, c, ... un changernent quelconque, les quantités V,,
V,, ..., ne feront que s’échanger les unes dans les
autres; par suite, une fonction symétrique de ces fonc-
tions ne sera pas changée, et elle sera aussi symétrique
relativement aux quantités a, b, c, .. ., K, l.

On peut, dans bien des cas, simplifier le caleul de
l’équation en V; on en verra un exemple dans la re-
cherche de l’équation qui a pour racines les carrés des
différences des racines d’une équation donnée, prises

deux à deux.