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398 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

178. Voici maintenant la méthode donnée par Cau-
chy, pour calculer la valeur d’une fonction symétrique
et entière V des racines a, b, c, …, t, k, l de l’équation

X— 1" p 20" 4 p 0T E Pm = O,

Divisons X par x — a, et désignons par X, le quo-
tient; divisons de même X, par x — b, et désignons
par X, le quotient, puis X» par x — c, et soit X, le
quotient, et continuons ainsi d’enlever de X tous les
facteurs linéaires jusqu’à x — Æ inclusivement, en sorte
que X,,_, ne contiendra plus que le seul facteur x — Z
Cela posé, considérons les m équations

xn x -0 Xx =6 , X,y—0

La première n’est autre que la proposée, et elle a pour ra-
cines a, b, c, …, k, [; la seconde a pour racines b, c, …,
k, l, et ses coefficients sont exprimés sous forme entière
en fonction de a et des coefficients de la proposée ; la tro1-
sième a pour racines c, ..., k, J, et ses coefficients sont
exprimés sous forme entière en fonction de b et des coet-
ficients de la précédente, c’est-à-dire en fonction de a, b
et des coefficients de la proposée ; et, en général, les coef-
ficients de l’une quelconque de ces équations sont qxpri-
més sous forme entière en fonction des coefficients de la
proposée et des racines qui n'appartiennent pas à l'équa-
tion que l’on considère. Désignons enfin par À la valeur
de X pour x=a, par B la valeur de X, pour x=Bb, par
C celle de X; pour x = c, et ainsi de suite, en sorte que
I sera la valeur de X,,_3 pour x = , K celle de X,_»
pour x = k, et L celle de X,7_4 pour x = [; on aura

0n C0 s1 e OE O, — 0.

Cela posé, V est une fonction symétrique, non-seule-
ment des racines de l’équation X — o, mais aussi des