SECTION II. — CHAPITRE I. 397 .

tion n’est que du degré m — 1 ; on aura donc, en parti-
culier,
ms — V=o
ou
vV= 9qn

comme nous l’avions annoncé.

La démonstration précédente suppose que les m ra-
cines a, b, e, .. , k, l sont inégales ; mais les conclusions
précédentes ne subsistent pas moins, si quelques-unes
de ces racines sont égales entre elles. Nous emploie-
rons, pour justifier cette assertion, un raisonnement
dont on fait un fréquent usage en Analyse.

Si l’équation X = o a des racines égales, on considé-
rera d’abord à sa place une équation X, = o, dont toutes
les racines seront inégales, et qu’on obtiendra en faisant
subir des modifications insensibles aux coefficients de X:
par exemple, si l’équation X = o a trois racines égales à
a, et que les autres racines soient différentes, on prendra
X(x —a—h)(x—a—W)

(æ—a)

X, =
Le polynôme X, ne diffère de X qu’en ce que deux des
trois racines égales à a sont remplacées par a+kh et
a + h': on voit aisément, sans qu’il soit nécessaire d’in-
sister davantage, comment on devrait choisir le poly-
nôme X,, si, outre les trois racines égales à , l’équation
proposée avait plusieurs racines égales à b, à c, ...
Cela posé, substituant l’équation X,= 0 à X=0o et
conservant d’ailleurs les notations précédentes, on arri-
vera à l’équation

V= Gms

et celte équation aura lieu, quelque petites que soient
les quantités h, N', .. ; elle aura donc lieu aussi à la li-
mite, quand on fera h = o, W 0,....