SECTION II. — CHAPITRE I. 379
posée par x”; elle deviendra
‘Ï'J”+"+/)l 'rIIL+IL——I +])2'xlll+ll—2+ e +I’l}l—1 .1.n+l+p"l xn= 0.

Remplaçons successivement x par chacune des racines
a, b, c,, et ajoutons tous les résultats; on aura

Smen F P1S$m+n—1+ P2Sm+n—+ - » + Pm—1 SnH1 H PmSn — 0-

£n donnant à n les -valeurs o, 1, 2, ..., et observant
que s#= m, on obtient les relations suivantes :

[

Sm  —#PSm—1+ P2Sm—+ -" +Pm-sr51 H MPm H O,
) m FP1Sm H PaSmss F <… » +Pm—1S2 #H Pm$1 — 0,
Sm+eFP1Sms1i H PoSm +---HPm-153+ PmS2 — 0,

Les sommes 54, S2, - - - » Sm_1 étant connues par les for-
mules (1), la première des formules (2) déterminera sm,
la deuxième s,41, etainsi de suite.

[importe de remarquer que les valeurs des sommess,,
s, … ne contiennent dans leur expression aucun dé-
nominateur, et que si les coefficients p4, P2, -.. sont'des
nombres entiers, les sommes sy, S9, ... sont aussi des
nombres entiers.

Réciproquement, si l'on connaît m sommes de puis-
sances semblables, par exemple s4, 52, - - - , Sm, ON pourra
déterminer les coefficients p1, pa, .- à l’aide des for-
mules (1)et(2), qui ont été données, pour la première
fois, par Newton.

Pour calculer les sommes de puissances semblables
des racines à exposants négatifs, il suffit de donner au
nombre n, que nous avons introduit, les valeurs succes-
sives —1, —2, — 3, ... mais, à l’égard de ces sommes
de puissances négatives, le moyen le plus aisé de les
trouver consiste à changer x en î dans l’équation pro-

posée, et à calculer ensuite les sommes de puissances