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376 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

pression d’une fonction symétrique et rationnelle quel-
conque des racines d’une équation, et cette recherche
nous conduira à ce théorème important :

Toute fonction rationnelle et symétrique des racines
d’une équation peut s’eæprimer rationnellement pur les
coefficients dè cette équation.

Examinons d’abord à quoi peut se réduire la recherche
de la fonction rationnelle et symétrique la plus générale.
Toute fonction rationnelle non entière est le quotient de
deux fonctions entières, en sorte qu’il n’y a lieu de s’oc-
cuper que des fonctions symétriques entières. En outre,
toute fonction symétrique entière non homogène est
la somme de plusieurs fonctions symétriques homo-
gènes; tout est donc ramené à établir des règles pour
calculer les fonctions symétriques rationnelles entières et
homogènes ; enfin, une pareille fonction symütrique en-
tière et homogène peut contenir des termes où les expo-
sants des lettres, tout en ayant la même somme, ne
soient pas égaux chacun à chacun : dans ce cas, la fonc-
tion est la somme de deux ou d’un plus grand nombre de
fonctions symétriques de même degré, mais différentes,
et que nous calculerons séparément. De tout cela il ré-
sulte que nous pouvons nous borner à considérer les
fonctions symétriques rationnelles, entières et homo-
gènes, telles que les exposants des lettres soient les mêmes
dans deux termes quelconques; toute fonction de cette
espèce sera définie si l’on donne un seul de ses termes,
ainsi que toutes les lettres qui entrent dans sa compo-
sition. Cela posé, nous appellerons fonction symétrique
simple ou du premier ordre une fonction symétrique
rationnelle, entière ethomogène, dont chaque terme ne
contient qu’une seule lettre ; fonction symétrique double
ou du deuxième ordre celle dont chaque terme renferme