SECTION I. — CHAPITRE VII. 345
positive et inférieure à 0,00000003 ; donc la formule

F(b) _ 0,00014 1586432 _ ; |
f es T1 |

Es

 

donnera la valeur de u à trois unités près du huitième
ordre décimal, en sorte que la racine demandée a pour
valeur

1,3568958

avec sept décimales exactes.

Complément de la méthode de Newton. [

162. La méthode de Newton ne laisse rien à désirer
sous le rapport de la simplicité, mais elle exige que l'on
discute dans chaque cas le degré d’exactitude des résul-
tats qu’elle fournit, et ainsi elle ne remplit pas la condi-
tion qu’on doitimposer à toute méthode d’approximation,
savoir, de donner simultanément une limite inférieure ; ;
et une limite supérieure de la quantité qu’on veut éva- fh
luer. Mais il est facile, comme on va le voir, de combler d
cette lacune sans altérer l’essence de la méthode. . ;

Soient « et 6 > « deux nombres qui comprennent une M
seule racine x, de l’équation \

(I 12244

Comme nous supposons que cette équation n’a pas de
racines égales, on peut admettre que les équations
f'(x)=0, f"(x)= 0 n’ont aucune racine comprise
entre œ et 6; s’il en était autrement, 1l faudrait resserrer
les limites qui comprennent la racine x. Lorsqu’on ap- U
plique la méthode.de Fourier à la détermination de ces 10
limites, on estassuré quenotre condition se trouve rem- e

plie, quand la suite des indices que l’on forme, confor-