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f,
d
f
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332 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

le second membre de cette formule est une fonction en-

tière de x du degré m — 1, dans laquelle le coefficient de
x! est évidemment mA, h; on a donc

Au— mA,haer<+ ,,

ce qui montre que la différence Au d’une fonction en-
tière u du degré m estune fonction entière du degrém—1,
et que le premier terme de Au s’obtient en multipliant
par hla dérivée du premier terme de u. Cette proposi-
tion nous donne immédiatement les résultats suivants :

A3 u— m(m — 1) A, h2am—t 4 ,

9 u—m(m—1)(m— 2JA, Btar rs

on voit que la différence mième Am n est indépendante
de x, et qu’elle s’obtient en multipliant par h la mpième
dérivée de u, ce qui démontre le théorème énoncé.

Il résulte de là que les différences de w des ordres su-
périeurs à m sont nulles.

155. SUBSTITUTION DE NOMBRES ÉQUIDISTANTS DANS UNE
FONCTION ENTfEre. — La proposition que nous venons
d’établir conduit à une conséquence très-Importante qui
remplit l’objet principal que nous avions en vue, et que
l’on peut énoncer comme il suit :

Si l’on doit substituer à x une suite de nombres équi-
distants

X— 2h, % — h, %, X +h, %, +22,

dans une fonction entière u =f(x)du degré m, il suf-
fira de calculer directement les résultats de la substitu-
tion de m termes consécutifs de la suite, après quoi on
obtiendra les résultats de la substitution de tous les au-
tres nombres par de simples additions.