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330 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
et, en ajoutant cette égalité à l’égalité (9'), 1l vient
(T0) u, — U + 2 AU, + â2 u, ;

on peut appliquer à la suite (æ) des différences premières
la propns…on exprimée par la formule précédente, ce
qui donne

Aus — Aug + 20240 + A3 u;

cette formule étant ajoutée à la formule (ro), il vient

(tr) us = u, + 3 Auy + 3 4?u, + A u,,

/

Ces résultats nous permettent d’écrire immédiatement
la formule générale suivante :

(m—1)

A n n I '
(I?‘) un=“0+Î Àu0+—\l—o—)A2uo "—+ Àn_1l 0Â" 10,

dans laquelle les coefficients numériques sont ceux du
développement de la n'ê"e puissance d’un binôme. Cette
formule est vérifiée dans le cas de n=1, et, pour en
démontrer Ja généralité, il suffira d’établir que, si elle a
lieu pour une valeur quelconque p de n, elle subsiste
pourn=yp+1.

La formule (12) ayant lieu par hypothèse pourr= u,
nous pouvons l’appliquer non-seulement à la suite (1),
mais aussi à la suite (2) que forment les différences pre-
mières; on a donc

#(g—4)
I

u, — U +ËAUO + A u, +—. + .Â"—1Hl.+A U,
I

J(/—l\

Au, = Aug+ — H A? u— —
ë I

 

ASug+t...—+ ËAï‘llo—+— AFs
I

2

ajoutant ces égalités et ayant égard à la formule (8), il
vient
(E+)u

Au + —— A u, +...+ AFHas,
12

 

u
— 4
Uus — U +