SECTION 1. — CHAPITRE VII. . 321

149. Lorsque les coefficients d’une équation sont ra-
tionnels, on peutchasserles dénominateurs qu'ils peuvent
contenir ; ces coefficients deviennent alors des nombres
entiers. Cela posé, la recherche de toutes les racines com-
mensurables se ramène à celle des racines entières, au
moyen de la proposition suivante :

Tuéorème. — Lorsque le premier terme d’une équa-
tion a pour coefjicient l’unité et que les autres cbe_‘[fi—
cients sont des'nombres entiers, l’équation ne peut avoir
pour racines commensurables que des nombres entiers.

En effet, soit l’équation
f(a=a"4+A,a”+ 4 H A 10 F A,=o,
dans laquelle les coefficients A,, , A, sont des entiers.

; . 3 & 2s T5 P a
Substituons à x une fraction irréductible quelconque =
)

On aura
a al)l
1)'”—1f<z> = 37 + Ara”+ Agbart-t 4. + A b
y

(l A * , . . »
or, pour que 7 füût racine de l’équation f(x) = o, il fau-
- D
drait que l’on eût

a m

b

e m1 m—1
=— Asaie E A u

ce qui est impossible, puisque le second membre est un
nombre entier, tandis que le premier mem.brc est une
fraction irréductible ; donc l’équation proposée ne peut
avoir une racine fractionnaire.

D'’après cette proposition, pour avoir toutes les racines
rationnelles d’une équation à coefficientsentiers, il suffira
de transformer l’équation proposée en une autre (n°58)
dans laquelle le coefficient du premier terme soit l’unité,

S — Als. sup., 1. 21