SECTION I. — CHAPITRE VI. 311

diminuant l’intervalle de & à 6, faire en sorte que A,=0;
en effet, /(x)=0 n’a qu'une seule racine x'entre aet6,
et, par suite, elle ne peut avoir, avec sa dérivée, aucune
racine commune comprise entre & et 6; done, en rem-
plaçant les limites æ et @ par deux autres suffisamment
repprochées, on pourra toujours faire en sorte que
l’équation /"(x)=0 n’ait aucune racine dans le nouvel
intervalle; alors, la suite (1) ne perdant qu'une seule
variation, on aura À, =o.

Supposons actuellement que À, = 2 où A, >2. Par-
courons la suite (3) en partant de la gauche, jusqu'à ce
que nous trouvions un indice égalà 1 : so:t Â, ce pre-
mier indice égal à l’unité ; la méthode que nous allons
développer a pour objet de reculer successivement l’in-
dice A, vers la gauche de la suite (3), ou, ce qui revient
au même, de diminuer le nombre n qui marque le rang
de l’indice. L’indice A,_, qui précède À, ne peut être égal
à 1, par hypothèse ; donc 1l est oou 2; mais, si l’on avait
A,1 = 0, comme À, est au moins égal à 2,en remontant
la suite (3) à partir de A,_, On rencontrerait nécessaire-
ment un indice égal à 1, ce qui est contraire à l’hypo-
thèse: ainsi l’on a A,_, = », en sorte que le premier
indice À, égal à 1 est nécessairement précédé d’un indice
égal à 2. Or, si ce même indice n’est pas suivi d'un
indice A,,1 égal à zéro, on pourra toujours, comme on
l’a vu plus haut, trouver deux limites a’, 6" comprises
entre œ et 6 et qui ne comprennent aucune racine de
l'équation f* (x) = 0; l’intervalle de & à & sera alors
partagé en trois autres, savoir celui de æ à 2*, celui
de æ' à & et celui de € à 6. L’équation f"(x)=0 n’a
aucune racine dans le premier et dans le troisième inter-
valle; donc, pour chacun de ceux-ci, l’indice À, est zéro,
et, en conséquence, le premier indice égal à 1 est reculé
vers la gauche de la suite (3). À l’égard de l’intervalle