SECTION I. — CHAPITRE VI. 309

; ; A ;
substituera à x, comme nous l’avons indiqué au n° 141,

une suite de nombres croissants

«
X, O, Y, ++0, ®

compris entre les limites des racines.

Si, dans le passage x = « à x = 6, la suite des signes
des fonctions (1) ne- perd aucune variation, l'équation
f(x)=0o n’aura aucune racineréelle comprise entre æ et6.
S’il y aune seule variation perdue, l’équation f(x) =0
aura une seule racine entre œ et 6, et cette racine sera
séparée.

S'il y a deux variations perdues en passant de x = «
à x = 6, il peut arriver que l’équation /(x)= o ait deux
racines entre æ et6 ou qu’elle n’en ait aucune; on a vu
que, si le dernier'cas a lieu, l’équation a nécessairement
deux racines imaginaires. Nousallons indiquer comment
on peut distinguer ces deux cas l’un de l’autre, lorsque
la perte de deux variations se manifeste dans la portion
de la suite (1) qui est formée par les trois premières
fonctions
(2) #(æ), F'{æ), Frtæ).

Comme le théorème de Budan s’applique à l’une quel-
conque des fonctions de la suite (1), il résulte de notre
hypothèse que l'équation f"(x) =0 n’'a aucune racine

C(!lll})l‘iä(‘ entre-& €l 8 bl (l()l‘lC on a

f(8) _ f(a) S
F(G) ——m> ou —6 — à,

on sera certain, d’après le lemme du n°1 43 (c0rollairc r),

 

qùc l’équation f(x)= 0 ne peut pas avoir deux racines
réelles entre « et 6. Lorsque l’inégalité précédente n'est
point satisfaite, il faut substituer dans Ftæ)et f (x) un
nombre a compris entre & et 6; si f (a) est de signe