SECTION T. — CHAPITRE VI. 307

En effet, soient x" et x" > x" les racines de f(x) = 0
comprises entre æ et £ ; comme f"(x) ne peut changer
de signe, quand x varie entre ces limites, la fonction
f(x) est constamment croissante ou constamment dé-
croissante, et il en résulte que l’équation /"(x) = © ne
peut avoir qu’une seule racine entre æ et 6 ; d’ailleurs cette
racine existe d’après le théorème de Rolle, et elle est com-
prise entre x" et x”. D’'après la proposition du n° 490

wJ‘ ) 1 ) ,

T1, L\EY sont négatifs quand % croît de
J'(æ2)" £'(#) E

à / e . cA es = JAge 3 , =
œ à x', tandis qu’ils sont positifs quand x croît dex'à6;
donc, dans l’un et l’autre cas, f(x) et /"(x) sont de

même signe, et, par conséquent, la fonction
° ” ,

les rapports

q Ï\,l'; —F

 

est croissante. On a donc
pla)<ela!), e(a")<al6),
D’ailleurs on a

d'où
o[x)<we(x”

 

donc, à plus forte raison,

n(x) Ca(6)
ou

sL- 2 É2

F læ); > ?
ce qui est le résultat annoncé.
Corouuaire IT. — Si l’équation f'(x) = 0 à une ra-

cine x, entre a et 6 >a, et que les é(/l[(tl[()/l.&‘_f( x)=o,
f'(x)= 0 n'aient aucune racine entre ces limites; si,

en outre, les fonctions f (x ), f"(æ) sont de méme signe,

*