SECTION I. —  CHAPITRE VI. 305

et, pour x — + 1, cette suite devient
+ + + — +;

il y a, dans les deux cas, deux variations; done l’équa—
tion proposée n’a point de racines réelles.

Methode de Fourier pour la séparation des racines.

143. La méthode de Sturm ne laisse rien à désirer
sous le rapport de la perfection théorique; malheureuse-
ment le caleul des fonctions dont cette méthode exige
l’emploi peut devenir très-pénible, même dans des cas fort
simples ; ainsi, dans le second des exemples que nous ve-
nons de présenter, le nombre constant V « qui terminerait
la suite complète des fonctions n’a pas moins de quarante-
qüatre chiffres. Aussi est-il plus avantageux, dans un
grand nombre de cas, de se borner à l’emploi du théo-
rème de Budan. Ainsi que nous l’avons dit déjà, Fourier
avait trouvé de son côté ce théorème, et il a montré dans
son Analyse des équations comment on peut en tirer
parti pour effectuer la séparation des racines réelles d’une
équation, et obtenir en même temps le nombre exact
de ces racines. Nous allons indiquer ici cette méthode de
Fourier; mais, afin d’apporter plus de clarté dans notre
exposition, nous commencerons par établir une propo-

sition dont nous aurons à faire usage.

Lemme. — Soient f(x) une fonction entière de la
variablexet f'(x), J" (x) les deux premières dérivées
de f (x). Si l’on fait croître x entre deux limites x9
et X qui ne comprennent aucune racine de l’équal[0n

e ; F(æ)
ÉfA es » 0 } —— e !
f!(x)=0, la fonction 9(x) = x F)

que f (x) et f"(x) seront de méme signe, et elle dé-

 

croïtra tant

_ S, Alg. sup: — ù 20