302 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

 

et le théorème fera connaître combien il y a de racines
dans l’intervalle que forment entre eux deux termes con-
sécutifs de cette suite. S’il y a une seule racine dans l’un
des intervalles, cette racine sera séparée; si, au con-
traire, il y à plusieurs racines, on substituera des nom-
bres intermédiaires, et l’on arrivera infailliblement ainsi
à achever la séparation. Il est à peine nécessaire d’ajou-
ter qu'on devra prendre pour termes extrêmes de la
suite précédente deux nombres au delà desquels il n’y
ait plus de racines réelles.

Les nombres à substituer peuvent être pris arbitrai-
rement; mais dans les applications il conviendra en gé-
néral de choisir d’abord les nombres

e =100;-—19; —1,0;,_ +1, HT0,. +100, x

dont la substitution se fera sans difficulté. Si les substi-
tutions indiquent l’existence d’une ou de plusieurs ra-
cines dans un intervalle, entre 1 et 10 par exemple, on
substituera les nombres 2, 3, ... jusqu’à 9, ce qui don-
nera la partie entière des racines comprises entre 1 et 10.
S'il y a plusieurs racines dans l’un de ces nouveaux in-
tervalles, par exemple entre 3 et 4, on substituera les
nombres à, 1; 3, 2, ..., et ainsi de suite.

On voit que ce procédé donne non-seulement la sépa-
ration des racines, ce qui est l’objet que nous nous pro-
posons, mais qu’il permet à la rigueur de calculer chaque
racine avec un degré d’approximation quelconque.

Il importe de remarquer le cas où l’on sait d’avance
que toutes les racines de l’équation proposée sont réelles.
Dans ce cas, on peut se dispenser d’employer le théorème
de Sturm, ou plutôt on appliquera ce théorème, en pre-
nant pour suite de fonctions, conformément à la proposi-
tion du n° 119, celle qui est formée du premier membre

de l’équation proposée et de ses dérivées successives.