SECTION I. — CHAPITRE VI- 3o1

réelles et positives; donc cette équation sera complète et
elle n’offrira que des variations. Si au contraire l'équa-
tion f(x) =0 n’a pas toutes ses racines réelles, soient
a + i& deux racines imaginaires conjuguées, l’équation
aux carrés des différences admettra la racine négative
—A 6*et, si elle est complète, elle offrira nécessairement
quelques permanences, d’après le théorème de Descartes.
Donc :

Pour qu'une équation ait toutes ses racines réelles, il

faut et il suffit que l'équation aux carrés des difjérences
soit complète et ne présente que des variations.

, OIR . .m(m—1) :
Ce théorème donne aimns1 — —— conditions, maus

 

quelques-unes de ces conditions devront être satisfaites
d’elles-mêmes ou rentreront dans les autres, car on a
vu au n° 131 que le nombre total des conditions dis-

l.il]CL€.< ne pCLll p‘àS SllI‘pûS$('l‘ T=s

141. Plusieurs géomètres, après Lagrange, ont cherché
à éviter l’emploi de l’équation aux carrés des différences;
mais nous n’avons à signaler aucun résultat essentiel,
jusqu’àla découverte du théorème de Budan. Ce théorème
a une grande importance dans la théorie des équations,
et il permet d’effectuer très-simplement, dans la plupart
des cas, la séparation des racines. Mais, avant de déve-
lopper cette lll)])“(fià\liûll importante du théorème de
3Judan, je dois parler de la méthode si remarquable
qui nous est donnée par le théorème de Sturm, et qui
résout de la manière la plus complète et la plus élégante
le prohlèmo que nous avons en vue. Effectivement, quand
on aura formé les fonctions dont ce théorème indique
l’usage, on substituera à l’inconnue une suite de nom-
bres croissants ;

&, 6495 05 0521 1<04