>>>=

    

300 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE,

dule, en sorte que v — Æ V ; désignons aussi par p une
limite supérieure des modules des racines de l’équation
proposée (n° 46). Les modules des différences

OS 2 U— B3 14T 2

seront inférieurs à 2p (n° d9); si donc on suppose que
les racines a et b soient réelles, l’égalité précédente don-
nera

>

L m(m—1)—2?

, p
v<(a—b}2(2p)”l("l—î)—2, d’où (a—b) =
æ \»—lf,s

si donc on prend

e
R—- Où < îT7

——

(2e) *

‘

la quantité » sera certainement plus petite que la diffé-
rence de deux racines réelles quelconques. On verra
dans la Section II que, si le coefficient du premier terme
de l’équation proposée est égal à 1 et que les autres coef-
ficients soient des nombres entiers, la quantité V est tou-
jours un nombre entier ; on pourra donc, dans ce cas, se
dispenser de calculer v, et l’on prendra

I
@-—nus —-

mi( m=s i )
(2p)

Ce perfectionnement, apporté par Cauchy, a sans doute
de l’importance, mais il ne fait pourtant disparaître
qu'une partie des inconvénients de la méthode.

140. Nous ne pouvons nous dispenser d’indiquer ici
l’usage de l’équation aux carrés des différences pour
former les conditions de réalité de toutes les racines de
l’équation proposée f(x) = 0. Si cette dernière équa-
tion a toutes ses racines réelles, il est évident que toutes
les racines de l’équation aux carrés des différences seront