SECTION I. — CHAPITRE VI. 299

inférieure à V/î' La différence h ainsi déterminée peut
être un nombre inférieur à r, et l’on doit chercher à
éviter les substitutions de nombres fractionnaires; on y
parviendra au moyen de la transformation x = hx' qui
sert à diviser par À la racine de la proposée. En faisant

cette transformation et en choisissant / de manière que

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L ° ° \ ° =
ï soit un nombre entier, on n’aura à substituer que des
è

nombres entiers dans l‘équalinn énx .

139. La méthode que nous venons d’exposer est com-
munément attribuée à Lagrange, mais il est juste de dire,
et l’illustre géomètre le reconnaît lui-même, que Wa-
ring avait indiqué an térieurement, dans ses Miscellanea,
l’usage de l’équation aux carrés des différences pour la
séparation des racines. Cette méthode fait connaître d’une
manière certaine le nombre des racines réelles, en même
temps qu’elle opère leur séparation; mais on aperçoit
sans peine combien l’application en est laborieuse, en
considérant d’une part le grand nombre de substitutions
que l’on peut av oir à effectuer, et d’autre part la lon-
gueur du caleul nécessaire pour former l’équation aux
carrés des différences. Cependant Cauchy a montré qu’on
peut éviter ce dernier calcul, et que, pour être en mesure
d’assigner une valeur de la quantité h, il suffit de con-
paître le dernier terme de l’équation aux carrés des ditfé-
rences, lt:qud peut être caleulé séparément par diverses
méthodes dont on trouvera le développement dans la
Section II de cet Ouvrage. En eflet, soient a, b, c, ..,
f, g les m racines de l’équation f(x)=0; le dernier
terme de l’équation aux carrés des différences sera égal,
abstraction faïte du signe, à l’expression

v=(a—é{a—o)P..{a—g}..(f— s}

Cette valeur de V étant supposée connue, soit ç son mo-

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