298 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

de cette suite, s’ils fournissent des résultats de signes
contraires, comprendront entre eux au moins une racine
(n° 115); mais, si ces résultats sont de même signe, on
ne pourra plus-rien conclure en général. Toutefois, la
séparation des racines sera entièrement effectuée, s’il
arrive que le nombre des intervalles dans chacun des-
quels les substitutions indiquent l’existence d’une ra-
cine soit égal au degré m de l’équation ; la même chose
aura lieu aussi si, le nombre u de ces intervalles étant
inférieur à m, on à constaté, par le théorème de Descartes
ou autrement, que l’équation ne peut avoir plus de u
racines réelles.

Mais le procédé dont il est question prendra le carac-
tère d'une méthode générale conduisant infailliblement,
dans tous les cas, à la séparation des racines réelles, si
nous y ajoutons une règle pour former la suite (1) de
telle manière que deux termes consécutifs ne puissent
comprendre plus d’'une racine. Or il est évident qu’on
réalisera cette condition en faisant coïncider la suite (1)
avec une progression par différence

(») [1 h, L+2h, ..., L+ nh,

dans laquelle la différence » soit inférieure à la diffé-
rence de deux racines réelles quelconques de l’équation
f(x)= 0; tout est donc ramené à déterminer cette quan-
tité h. On y arrive par le moyen de l’équation aux
carrés des différences (n° 97) des racines de l’équation
Ex) —0 Sùppnsans que l’on ait calculé cette équa-
tlon, qui est, comme on sait, du degré ]—H——,Ï:——I—a et que
l’on ait déterminé une limite inférieure À de ses racines
positives. La différence de deux racines quelconques de
la proposée sera supérieure à \"Ï. et, en conséquence, il
suffira de prendre pour h une quantité positive égale ou