SECTION I. — CHAPITRE VI. 201

et+1, le nombre des variations de l’équation X, =0
comprises entre æ et 6 sera égal au nombre des variations
perdues par la suite (5), dans le passage de x — a à
x=6

On serait arrivé aux mêmes résultats en considérant
au lieu des fonctions (5), la suite

” P.
) XIL7 Xlzv Xnv A X\”n\

—

(
(
formée par la fonction X, et ses dérivées successives. On
a effectivement les relations suivantes, qu’il est facile de

vérifier au moyen de l’expression de X, écrite plus
haut :

(7) (1—æ) X, — 2=X, + 7(n+1) X, =0

et
{I—— æ*) X(… —> (y…— I).1.‘XÎÎPM

/ n

& _n
( +[;(P«— 1)(p—2)+7(2 +1)] x !*=o.

On voit, par ces relations, que, dans la suite (6), deux
fonctions consécutives ne peuvent pas s’annuler en même
temps, et que, si l’une d’elles s'évanouit pour une valeur
de x comprise entre —1 et +1, la fonction qui précède
et celle qui suit ont des valeurs de signes contraires. Ces
mêmes relations montrent que, pour x— —1, la suite (6)
n'offre que des variations, tandis qu’elle n’a que des per-
manences pour x— —+1; on peut donc tirer les mêmes
con>c*quence> que nous avons formulées plus haut. Cette
conclusion s’accorde avec la proposition du n° 119,
puisque lequat10n X,= o a toutes ses racines réelles.

135. On peut encore démontrer très-simplement, par
la méthode de Sturm, la réalité des racines des équations
en x que nous avons obtenues dans le Chapitre précédent